Теория оператор

част от функционален анализ (виж Функционален анализ), посветена на изследването на свойствата на оператора и прилагането им към разтвора на различни проблеми .. Концепцията за оператор е една от най-често срещаните математически концепции. Примери: 1) предоставяне на всеки вектор (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) вектор (ξ ' 1 , ξ "< 2 , ξ ' 3 ), така че ξ' и = а и 1 ξ 1 + а и 2 ξ 2 + а и 3 ξ 3 ( и = 1, 2, 3 а и 1 а и 2 а и 3 - фиксирани номера), ние получаваме оператор 2) операция (оператор) диференциация D [ е ( т )] = е ". > ( т ) се всеки диференцируема функция е ( т ), негово производно е " ( т ). 3) Операцията (оператор) на определена интеграция I = се отнася за всяка интегрируема функция и действителния брой. 4), представляващи всеки от е

( т ), работата й CP ( т ) е ( т < ) на фиксирана функция Ф ( т ), ние отново получи оператора. Генерал О. т. е резултат от развитието на теорията на интегрална уравнения, решаване на проблемите на намирането на eigenfunctions и собствени стойности за диференциални оператори (вж. , например, проблем на Sturm-Liouville) и други сектори на класическия анализ. Той установи близки връзки между тези клонове на математиката и играе важна роля в по-нататъшното им развитие.Дори преди възникването на общата концепция за оператор, методите на оператора бяха широко използвани при решаването на различни видове диференциални уравнения, обикновени и с частични деривати (вж. Оперативни изчисления). Математическата теория е основният математически апарат на квантовата механика (виж операторите в квантовата теория). Оператори в линейни пространства . Най-честите оператори в Normed линейни пространства (вж. Линейната пространство), по-специално на функционални пространства, т.е.. Е. дисплея у = А ( X ) линеен пространство > R или част от него в R линеен пространство " (евентуално съвпада с R ). Този клас включва оператори такива основни понятия като числови функции, линейна трансформация (Вж. Linear трансформация) евклидово пространство, диференциални и интегрални оператори (вж. По-долу), и така нататък. Ж. Линейни оператори са най-изследваните и важни приложения. Операторът се нарича линеен ако A х + β у ) = α X ( х ) + β х ( у ) за всеки от х у пространство R и всички числа α, β. Ако мястото R и R ' нормализирани, и съотношението на X ( X ), за да нормално

X е ограничен, тогава линеен оператор а е ограничена и горната връзката лицето х ( х п

) → х ( х < ), когато X n x . Операторът на диференциацията (Пример 2) е един от най-важните примери за неограничен (и следователно не непрекъснат) линеен оператор. Вижте също Линеен оператор. Примерите 1-4 по-горе са примери на линейни оператори.Други примери на линейни оператори: 5) Да к ( и , т ) - непрекъсната функция на две променливи са дефинирани в квадрат а ≤ < и б , и т б . Формулата определя линеен интегрален оператор, се нарича оператор на Фредхолм. 6) Всяка абсолютно интегрируеми на цялата линия на е ( т ) се свързват нарича преобразувание на Фурие на оригиналната функция. Тази кореспонденция също е линеен оператор. 7) лявата страна на линеен диференциално уравнение

може да се види в резултат на прилагане на оператор, който се свързва с х ( т ) функция CP (

т

). Такъв оператор се нарича линеен диференциален оператор. Най-простият специален случай на линеен диференциален оператор е операторът на диференциацията. Примери на нелинейни оператори: 8) Да A [ е ( т )] = F 2 ( т < ); определена така наречена. операторът е нелинеен. 9) Нека ( F е ограничена непрекъсната функция). Кореспонденцията g h , определена от тази формула, е нелинеен интегрален оператор.

Действия на операторите . Да бъде даден оператор у = A ( х ), без два различни елемента х и х ' не навлиза в същото елемент y . Тогава всяко изображение y съответства на неговата единство. прототип х . Тази кореспонденция се нарича обратна операция и е означена с x = A -1 ( y ). Изграждането на оператора на обратната е еквивалентно на решаването на уравнението от = и ( х ) по отношение на х (търсенето на прототип на неизвестно за тази снимка).Ако A 1 и A 2 - двата оператора, на на R до R ' , след което сумата им A = A < 1 + A 2 наречен оператор дефинирани х ( х ) = A 1 > ( х ) + A 2 ( х ). Ако операторът A 1 трябва R до R ' и A 2 нужди R' < в R " , резултатът от тяхното последователно прилагане е оператор, който картографира R до R" ; тя се нарича продукта A 2 A 1 оператори A 1 и A 2 . Ако, по-специално, считаме операторите, които приемат само линейно пространство, тогава сумата и продукцията на двама такива оператори са винаги дефинирани. Резултати последователно използване п пъти един и същ оператор A има п - I степен A п > на този оператор. Например, п та степен диференциална оператор е оператор, п -kpatnogo диференциация D п [ е (т)] = f ( n) (t). Продуктът от λ A оператор A от броя на λ се определя от формула (λ A ) ( X ) = > λ А ( х ). Операторът E , който отнема всеки елемент x в себе си, се нарича единичен. Нулевият оператор е оператор 0 , който отнема всеки елемент до нула. Очевидно е, че за всички а равенства: AE = EA = A и A + O = О + A = и т.н. , ако има A -1 , тогава A -1 A и BA обикновено не са еднакви за всеки двама оператора A и B ). Използвайки операциите за добавяне, умножаване на операторите и умножаване на операторите по номера, може да се дефинират полиноми от линеен оператор и чрез ограничаване на прехода, разбиран по съответния начин, и по-сложни функции на оператора.Например, ако D - диференциране оператор, например D означава оператора, определен от формула като чувство за тези, е ( т >), за които серия от дясно се доближава. За аналитични функции сума от тази серия е е ( т + 1), т.е. д D - .. Shift оператор, който е ( t ) при f (

t + 1). Линейни оператори в пространство Хилберт . Най-пълният набор от диференциални уравнения е разработен за случая на линейни оператори в пространство Хилберт (вижте пространство Хилберт). Нека A е ограничен линеен оператор в пространството Хилберт H . Комплексно число λ се нарича собствена стойност от A , ако има такъв х ≠ 0 от Н , че A ( х ) = х ; x се нарича собствен вектор на оператора A , съответстващ на дадена собствена стойност. ламбда номер се нарича редовен точка на оператора A , ако операторът ( A + ламбда E ) 1 съществува, дефинирани като цяло Н и е ограничен; Останалите стойности на λ се наричат ​​точките на спектъра на оператора A . Всяка собствена стойност принадлежи към спектъра, тяхната съвкупност формира точков спектър, останалата част от спектъра се нарича непрекъснат спектър. Фактът, че спектърът на линеен оператор, най-общо казано, не се ограничава само до собствените си ценности, е характерна черта на линейни оператори в безкрайно тримерно пространство, което ги отличава от линейни преобразувания на краен двумерен евклидово пространство. В A * се нарича конюгат до A , ако скаларен продукт ( Ах , от ) = ( , A * y ) за всички x и за от H А се нарича самостоятелно долепени ако A = A * и единната ако A * = и - 1 . Самостоятелните и единните оператори са най-важните и напълно изучени класове линейни оператори в пространството Хилберт. Тяхната теория е обобщение на теорията на самоусвояване и единични линейни трансформации на пространствено евклидово пространство n . Виж също Спектрален анализ (математически). Един от най-простите класове на ограничени линейни оператори в пространство Хилберт е напълно непрекъснати оператори. Оператор A се казва, че е напълно непрекъснат, ако от една H обвързана серия в компактен комплект (виж компактност). Спектърът на напълно непрекъснат оператор се състои от ограничен или неограничен брой от собствени стойности и няма нулеви гранични точки. За всеки λ ≠ 0 съответства само ограничен брой линейно независими собствени функции. Няма постоянен спектър. Самостоятелно долепени напълно непрекъснат оператор A има най-малко един от тях стойност, а в N , можете да изберете пълен ортогонална система от елементи, състоящи се от eigenfunctions A . Неограничени оператори . Концепцията за ограничен линеен оператор се оказва твърде тясна в много случаи. Поради това стана необходимо да се разгледа така нареченото. неограничени оператори. Съответните, по-общи състояния определение: A наречен линеен неограничен оператор в Хилберт пространство Н , ако: 1) съвпадение у = А ( х ) е дефинирано за всички x , принадлежащи към някои линейни колектори (вижте [999]).Колекторът) Ω, наречен домейн на дефиниция на оператора A ; 2) X X + β у ) = α X ( X ) + β А ( y ). Най-важният клас необвързани линейни оператори в пространството Хилберт са диференциални оператори. Много проблеми на математическата физика, особено теорията на трептения, довели до проблема с намирането на eigenfunctions и собствени стойности на различните диференциални оператори. Например Цилиндричните функции, полиномите Legendre и т.н. не са нищо повече от собствените функции на някои диференциални оператори. Нелинейни оператори . В изследването на операторите предположението за тяхната линейност играе много важна роля. В редица случаи обаче е необходимо да се обмислят нелинейни оператори. По-специално, нелинейните интегрални уравнения играят важна роля в механиката и физиката. Лит. : AN Kolmogorov, SV Fomin, Елементи на теорията на функциите и функционален анализ, 3rd ed. , Москва, 1972; Дънфорд Н., Шварц JT, Линейни оператори. Обща теория, транс. с английски. , Москва, 1962 г. Великата съветска енциклопедия. - М .: Съветска енциклопедия. 1969-1978.

Популярни Публикации

Препоръчано, 2019

Plehve Вячеслав Константинович
Великата съветска енциклопедия

Plehve Вячеслав Константинович

Pleve Вячеслав К. [1846-15 (28). 7. 1904, Петербург], руски държавник. През 1867 г. завършва университета в Санкт Петербург. Той е служил в съдебната власт. От 1881 г. директор на Департамента на полицията, в 1884-94, сенатор и заместник-министър на вътрешните работи, на държавния секретар от 1894 г.

Прочетете Повече
Фердинанд отглеждането Gotlibovich
Великата съветска енциклопедия

Фердинанд отглеждането Gotlibovich

Стискане Фердинанд Готлибович [11 (23). 1. 1806, Kalisz, - 1 (13). 5. 1885 г., Тарту], руски геометър, почетен член на Петербургската академия на науките (1879 г., член на съответния член от 1864 г.). Той е от немски произход. Завършва университета в Берлин (1827 г.). От 1843 г. професор Dorpatsky (Tartu) университет.

Прочетете Повече
3. 1130
Наръчник на GOST

3. 1130

GOST 3. 1130 {-93} ESTD. Общи изисквания към формулярите и формите на документите. ACS: 01. 110 КГС: Т53 Системата за технологична документация Вместо: GOST 3. 1104-81 в част от секцията. 1, 2 Действие: C 01. 01. 96 Забележка: преиздаване 2003 Сат "ГОСТ 1125-88 3. ..." Текстът на документа :. ГОСТ 1130 3.

Прочетете Повече
Методът на стил за използване на противоположности
Финансов речник

Методът на стил за използване на противоположности

Методът на стил за използване на противоположности стилистични противоположности какво устройство - стилистично средство, изразена структура ", отколкото - толкова". Този метод омекотява директната команда към клиента. Вижте Също така: Стилове на рекламен текст Финансов речник Finam. .

Прочетете Повече
12307-2
Наръчник на GOST

12307-2

Стандарт ISO 12307-2 {} -99 плъзгащи лагери застроен контрол втулка вътрешен диаметър ACS: ... 21 10 100 CHS :. T16 лагери действие В. 01. 07. 2000 Забележка: съответства на ISO 12307-2-95 Текст на документа: GOST ISO 12307-2 "Обикновени лагери. Ръкави ръкави. Управление на вътрешния диаметър " Ръководство на GOSTs 2009.

Прочетете Повече
12942
Наръчник на GOST

12942

ГОСТ 12942} {-67 поемащи огънат универсална за машинни инструменти. Design. ACS: 25. 060. 20 CHS: G27 Полезност и помощни средства Вместо ГОСТ 1554-42 по отношение на залепване извита цел действие: C 01. 01. 68 променена: MIS 9/80, 6/88 Забележка: преиздаване на 1988 г. в сб "ГОСТ 12937-67" Текстът на документа: .

Прочетете Повече
Мумията
Великата съветска енциклопедия

Мумията

(Аг., И персийски.) труп от разлагащите predohranonny изкуствено. Желанието за спасяване на тялото след смъртта в много народи се свързва с идеите за отвъдния живот и безсмъртието на душата. Мумифицирането на трупове на хора и свещени животни е широко използвано в древния Египет (вж. В статията за балсамиране).

Прочетете Повече
8573-2
Наръчник на GOST

8573-2

ГОСТ R ISO 8573-2 {-2005} Сгъстеният въздух. Част 2. Методи за контрол на съдържанието на масла под формата на аерозоли. ACS: 71. 100. 20 CHS: 58 система от стандарти в областта на опазването на околната среда и подобряване на природните ресурси, безопасност, научна организация на труда Действие: От 01.

Прочетете Повече